Sur le volume des simplexes hyperboliques idéaux
Résumé
The volume of hyperbolic simplicies plays an important role in the investigation of the volume of hyperbolic manifolds and in other fields of mathematics such that arithmetic. But it is far more difficult to compute than eucildean volume. In this thesis, we generalize a formula used by A. Connes to compute the area of triangles in euclidean or hyperbolic spaces: we show a formula giving the volume of finite and ideals hyperbolic simplicies. However, this formula does not allow straightforward computations. That is why we only use it in order to get analytic properties of the volume function of ideal simplicies. More precisely, seeing an ideal simplex in the Poincaré ball model or the Klein model of the hyperbolic space, we can consider its volume as a function of its vertices on a sphere. After giving a basis of spherical harmonics on the sphere, we set out a method for expanding the volume function of ideal simplicies in spherical harmonics. As an example, we make the computations for dimensions 2 and 3. But even in these cases, it does not lead to simple formualae for the coefficients of the expansion. That is why we use the software Maple in order to compute the "little" ones.
Le volume des simplexes hyperboliques joue un rôle important dans la connaissance du volume des variétés hyperboliques ainsi que dans d'autres domaines des mathématiques comme par exemple en arithmétique. Mais il est beaucoup plus difficile à calculer que le volume des simplexes euclidiens, et les résultats connus sont toujours partiels. Dans cette thèse, nous démontrons une généralisation aux simplexes hyperboliques finis et idéaux d'une formule utilisée par A. Connes pour calculer l'aire des triangles euclidiens et hyperboliques. Cette formule intégrale ne permet pas de calculer des valeurs précises, mais plutôt d'étudier des propriétés analytiques de la fonction volume des simplexes hyperboliques idéaux. C'est du moins l'application que nous en faisons. Cela se fait en paramétrant un simplexe idéal par ses sommets sur une sphère -- cette sphère sera le bord de l'espace hyperbolique dans les modèles de la boule de Poincaré ou de Klein. Plus précisément, nous développons une méthode de décomposition en harmoniques sphériques -- après en avoir décrit une base -- du volume d'un simplexe idéal en fonction de ses sommets. Nous détaillons ensuite cette méthode en dimensions 2 et 3, sans toutefois obtenir des formules définitives synthétiques. Nous avons en effet recours au logiciel de calcul formel Maple pour obtenir les premiers coefficients de la décomposition.