Cone-beam reconstruction from projections with transverse truncation
Reconstruction cone-beam à partir de projections avec troncations transverses
Résumé
The first medical scanners were created about 50 years ago. They allow to reconstruct the image of a part of the body of a patient from its projections in X-rays. They are part of the field of medical tomography. This thesis deals with the image reconstruction problem from a mathematical and algorithmic point of view. More precisely, we are interested in the problem of truncated data, i.e. when some lines intersecting the object and the X-ray source are not measured. In this case, the known methods for image reconstruction are deficient. We first study in a non-exhaustive way the known 2D (chapter 1) and 3D (chapter 2) analytical reconstruction methods. A reconstruction cannot be stable if the object is outside the Tuy region, often corresponding to the convex hull of the X-ray source trajectory. It appears that the method most suitable for truncation, especially transverse, seems to be the DBP (Differentiated BackProjection) method. It requires the use of chords of the X-ray source trajectory. the X-ray source. This is why we start by studying the link between convex hull and set of chords of a trajectory (chapter 3), with for one of the objectives the placement of regions of interest for the purpose of using DBP method. We then study more particularly a precise class of trajectories, which we call the n-sin trajectories. In chapter 4, in a geometrical framework, we study in particular the union of the chords and the convex hull of these trajectories. Then, in chapter 5, we are interested in the use of the DBP for these trajectories. We give conditions for using DBP for an exact reconstruction from these trajectories for various truncation (this thesis deals in part with the little studied case of both axial and transverse truncation). In particular, the 2-sin trajectory is better suited to the DBP method than other n-sin trajectories. It turns out that even with transverse truncation and in chordless regions, reconstructions in the convex hull of the X-ray source trajectory seems sometimes possible, which is not discussed in the literature. We give the beginnings of an explanation. Other tracks (already known in the literature) are also evoked, as with the Katsevich method, effective Katsevich's method, which is efficient to treat the case of axial truncation even in chordless zones.
Les premiers scanners médicaux ont vu le jour il y a une cinquantaine d'années. Ils permettent de reconstruire l’image d’une partie du corps d’un patient à partir de ses projections en rayons X. Ils font partie du domaine de la tomographie médicale. Cette thèse traite du problème de reconstruction d’image d’un point de vue mathématique et algorithmique. Plus précisément, nous nous intéressons au problème des données tronquées, c’est-à-dire quand certaines lignes intersectant l’objet et la source de rayons X ne sont pas mesurées. Dans ce cas, les méthodes connues pour la reconstruction d’image sont lacunaires. Nous étudions dans un premier temps de manière non exhaustive les méthodes de reconstruction analytique 2D (chapitre 1) et 3D (chapitre 2) connues. Une reconstruction ne peut pas être stable si l’objet est en dehors de la région de Tuy, correspondant souvent à l’enveloppe convexe de la trajectoire de la source de rayons X. Il se dégage que la méthode la plus adaptée aux troncations, notamment transverses, semble être la méthode DBP (Differentiated BackProjection). Elle nécessite l’utilisation de cordes de la trajectoire de la source de rayons X. C’est pour cela que nous commençons par étudier le lien entre enveloppe convexe et ensemble des cordes d'une trajectoire (chapitre 3), un des objectifs étant le placement de régions d’intérêt reconstructibles par méthode DBP. Nous étudions ensuite plus particulièrement une classe précise de trajectoires, que nous appelons les trajectoires n-sin. Au chapitre 4, dans un cadre géométrique, nous étudions notamment l'union des cordes et de l’enveloppe convexe de ces trajectoires. Puis, au chapitre 5, nous nous intéressons à l’utilisation de la DBP pour ces trajectoires. Nous donnons des conditions d’utilisation de la DBP pour une reconstruction exacte à partir de ces trajectoires pour diverses troncations (cette thèse traite en partie du cas peu étudié des troncations à la fois axiales et transverses). En particulier, la trajectoire 2-sin est mieux adaptée à la méthode DBP que les autres trajectoires n-sin. Il s’avère que même avec des troncations transverses et dans des zones sans corde, des reconstructions dans l’enveloppe convexe de la trajectoire de la source de rayons X semblent parfois possibles, ce qui n’est pas abordé dans la littérature. Nous donnons des débuts d’explication. D’autres pistes complémentaires (déjà connues de la littérature) sont également évoquées, comme avec la méthode de Katsevich, efficace pour traiter le cas des troncations axiales même dans des zones sans corde.
Origine : Version validée par le jury (STAR)